Bayes Teoremi (Bayes’ Theorem) Nedir?

İstatistik ve olasılık teorisinde, Bayes teoremi (Bayes kuralı olarak da bilinir), olayların koşullu olasılığını belirlemek için kullanılan matematiksel bir formüldür. Esasen, Bayes teoremi, olayla ilgili olabilecek koşulların ön bilgisine dayalı olarak bir olayın olasılığını tanımlar.

Bayes Teoremi Nedir?

18. yüzyıl İngiliz matematikçisi Thomas Bayes’in adını taşıyan Bayes Teoremi, koşullu olasılığı belirlemek için kullanılan matematiksel bir formüldür. Koşullu olasılık, benzer koşullarda meydana gelen önceki bir sonuca dayalı olarak bir sonucun meydana gelme olasılığıdır. Bayes teoremi, yeni veya ek kanıtlar verilen mevcut tahminleri veya teorileri (güncelleme olasılıklarını) gözden geçirmek için bir yol sağlar.

Finansta, Bayes Teoremi, potansiyel borçlulara borç para verme riskini derecelendirmek için kullanılabilir. Teorem ayrıca Bayes Kuralı veya Bayes Yasası olarak da adlandırılır ve Bayes istatistikleri alanının temelidir.

Bayes Teoremini Anlamak

Bayes Teoreminin uygulamaları yaygındır ve finansal alanla sınırlı değildir. Örneğin, Bayes teoremi, herhangi bir kişinin bir hastalığa sahip olma olasılığını ve testin genel doğruluğunu dikkate alarak tıbbi test sonuçlarının doğruluğunu belirlemek için kullanılabilir. Bayes teoremi, sonsal olasılıklar oluşturmak için önceki olasılık dağılımlarını birleştirmeye dayanır.

Bayesian istatistiksel çıkarımda önceki olasılık, yeni veriler toplanmadan önce meydana gelen bir olayın olasılığıdır. Başka bir deyişle, bir deney yapılmadan önce mevcut bilgilere dayalı olarak belirli bir sonucun olasılığının en rasyonel değerlendirmesini temsil eder.

Arka olasılık, bir olayın yeni bilgiler dikkate alınarak revize edilmiş olasılığıdır. Arka olasılık, Bayes teoremi kullanılarak önceki olasılığın güncellenmesiyle hesaplanır. İstatistiksel olarak, sonsal olasılık, B olayının gerçekleştiğine göre A olayının meydana gelme olasılığıdır.

Özel Durumlar

Böylece Bayes Teoremi, o olayla ilgili olan veya olabilecek yeni bilgilere dayanan bir olayın olasılığını verir. Formül ayrıca, bir olayın meydana gelme olasılığının, yeni bilgilerin doğru olacağı varsayımıyla, varsayımsal yeni bilgilerden nasıl etkilenebileceğini belirlemek için de kullanılabilir.

Örneğin, 52 kartlık tam bir desteden tek bir kart çekmeyi düşünün.

Kartın kral olma olasılığı dört bölü 52, yani 1/13 veya yaklaşık %7.69. Destede dört kral olduğunu unutmayın. Şimdi, seçilen kartın bir yüz kartı olduğunun ortaya çıktığını varsayalım. Bir resimli kart olduğu düşünüldüğünde, seçilen kartın kral olma olasılığı dörde bölünür veya bir destede 12 resimli kart olduğu için yaklaşık olarak %33.3’tür.

Bayes Teoremi Örnekleri

Aşağıda, ilk örneğin SASA Polyester Sanayi AS (SASA) kullanılarak bir hisse senedi yatırım örneğinde formülün nasıl türetilebileceğini gösterdiği Bayes Teoreminin iki örneği verilmiştir. İkinci örnek, Bayes teoremini farmasötik ilaç testlerine uygular.

P (A )= A’nın gerçekleşme olasılığı

P (B )= B’nin gerçekleşme olasılığı

Pn (A∣B)=A’nın verilen B olasılığı

P (B∣A)= A verilen B olasılığı

P ( bir⋂B ))= Hem A hem de B’nin gerçekleşme olasılığı
​

Bayes Teoremi Formülü

Bayes Teoremi, basitçe koşullu olasılık aksiyomlarından çıkar. Koşullu olasılık, başka bir olayın meydana geldiği göz önüne alındığında bir olayın olasılığıdır. Örneğin, basit bir olasılık sorusu şu soruyu sorabilir: “SASA’nın hisse senedi fiyatının düşme olasılığı nedir?” Koşullu olasılık, şu soruyu sorarak bu soruyu bir adım daha ileri götürür: “BİST 100 endeksi düştüğüne göre SASA hisse senedi fiyatının düşme olasılığı nedir?”

B’nin gerçekleştiğine göre A’nın koşullu olasılığı şu şekilde ifade edilebilir:

A: “SASA fiyatı düşüyor” ise, P(SASA) SASA’nın düşme olasılığıdır; ve B: “BİST zaten düştü” ve P(BİST) BİST’in düşme olasılığıdır; daha sonra koşullu olasılık ifadesi şu şekilde okunur: “Bir BİST düşüşü göz önüne alındığında SASA’nın düşme olasılığı, SASA fiyatının düşme olasılığına ve BİST’in BİST 100 endeksindeki bir düşüş olasılığına göre düşme olasılığına eşittir.

P(SASA|BİST) = P(SASA ve BİST) / P(BİST)

P(SASA ve BİST), hem  A hem de B’nin meydana gelme olasılığıdır. Bu aynı zamanda, A’nın meydana gelmesi durumunda B’nin meydana gelme olasılığı ile çarpılan A’nın meydana gelme olasılığı ile aynıdır, P(SASA) x P(BİST|SASA) olarak ifade edilir. Bu iki ifadenin eşit olması, Bayes teoremine yol açar ve şu şekilde yazılır:

if, P(SASA ve BİST) = P(SASA) x P(BİST|SASA) = P(BİST) x P(SASA|BİST)

sonra, P(SASA|BİST) = [P(SASA) x P(BİST|SASA)] / P(BİST).

P(SASA) ve P(BİST) SASA ve BİST’in birbirinden bağımsız olarak düşme olasılıklarıdır.

Formül, P(SASA) kanıtını görmeden önce hipotezin olasılığı ile, BİST’in SASA için verilen bir hipotez göz önüne alındığında, P(SASA|DJIA) kanıtını aldıktan sonra hipotezin olasılığı arasındaki ilişkiyi açıklar.

Bayes Teoreminin Sayısal Örneği

Sayısal bir örnek olarak, %98 doğru olan bir uyuşturucu testi olduğunu, yani zamanın %98’inin uyuşturucu kullanan biri için gerçek bir pozitif sonuç gösterdiğini ve zamanın %98’inin gerçek bir negatif sonuç gösterdiğini hayal edin. 

Ardından, insanların %0,5’inin ilacı kullandığını varsayalım. Rastgele seçilen bir kişi uyuşturucu için pozitif testler yaparsa, kişinin gerçekten uyuşturucu kullanıcısı olma olasılığını belirlemek için aşağıdaki hesaplama yapılabilir.

(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = %19,76

Bayes Teoremi, bu senaryoda bir kişinin testi pozitif çıksa bile, kişinin ilacı almama olasılığının kabaca %80 olduğunu göstermektedir.

Bayes Teoreminin Tarihçesi Nedir?

Teorem İngiliz Presbiteryen bakanı ve matematikçi Thomas Bayes’in makaleleri arasında keşfedildi ve ölümünden sonra 1763’te Kraliyet Cemiyeti’ne okunarak yayınlandı. Boolean hesaplamaları lehine uzun süredir göz ardı edilen Bayes Teoremi, artan hesaplama kapasitesi nedeniyle son zamanlarda daha popüler hale geldi. 

Bu ilerlemeler, Bayes teoremini kullanan uygulamalarda artışa yol açmıştır. Artık finansal hesaplamalar, genetik, uyuşturucu kullanımı ve hastalık kontrolü dahil olmak üzere çok çeşitli olasılık hesaplamalarına uygulanmaktadır.

Bayes Teoremi Neyi Anlatır?

Bayes Teoremi, başka bir olayın meydana gelmesine dayanan bir olayın koşullu olasılığının, birinci olayın olasılığı ile çarpılan ilk olay verilen ikinci olayın olasılığına eşit olduğunu belirtir.

Bayes Teoreminde Ne Hesaplanıyor?

Bayes Teoremi, belirli ilgili bilinen olasılıkların değerlerine dayalı olarak bir olayın koşullu olasılığını hesaplar.

Bayes Teoremi Hesaplayıcı Nedir?

A Bayes Teoremi Hesaplayıcı, A  ve  B’nin önceki olasılıkları ve B’nin A’ya bağlı olasılığı göz önüne alındığında, başka bir B olayına bağlı bir A olayının olasılığını hesaplar. Bilinen olasılıklara dayalı olarak koşullu olasılıkları hesaplar.

Bayes Teoremi Makine Öğreniminde Nasıl Kullanılır?

Bayes Teoremi, bir veri seti ile olasılık arasındaki ilişki hakkında düşünmek için faydalı bir yöntem sağlar. Başka bir deyişle, teorem, belirli bir gözlemlenen verilere dayanarak belirli bir hipotezin doğru olma olasılığının, hipoteze verilen verileri gözlemleme olasılığının, verilerden bağımsız olarak hipotezin doğru olma olasılığı ile çarpımı olarak ifade edilebileceğini söyler. 

Son Sözler

En basit haliyle, Bayes Teoremi bir test sonucu alır ve bunu, diğer ilgili olaylara verilen bu test sonucunun koşullu olasılığı ile ilişkilendirir. Yüksek olasılıklı yanlış pozitifler için Teorem, belirli bir sonucun daha makul bir olasılığını verir.